Докажите следующее обобщение теоремы Безу: остаток от деления многочлена F(x) на многочлен ax+b равен F(-b/a). Докажите следующее обобщение теоремы Безу: остаток от деления многочлена F(x) на многочлен ax+b равен F(-b/a).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть (F(x) = fnx^n + f{n-1}x^{n-1} + ... + f_1x + f_0) и (a \neq 0).

Тогда остаток от деления (F(x)) на (ax + b) равен (F(-\frac{b}{a})).

Для начала докажем, что многочлен (ax + b) делит многочлен (F(x) - F\left(-\frac{b}{a}\right)).

Рассмотрим многочлен (G(x) = F(x) - F\left(-\frac{b}{a}\right)). Подставим в него (x = -\frac{b}{a}):
[G\left(-\frac{b}{a}\right) = F\left(-\frac{b}{a}\right) - F\left(-\frac{b}{a}\right) = 0]

Это означает, что многочлен (ax + b) делит многочлен (F(x) - F\left(-\frac{b}{a}\right)), а следовательно, и делит (F(x)), так как
[F(x) = axQ(x) + R(x)]
где (R(x)) - остаток от деления (F(x)) на (ax + b).

Таким образом, остаток от деления многочлена (F(x)) на (ax + b) равен (F\left(-\frac{b}{a}\right)).