Решить ряд Фурье в комплексной форме f(x)=e^x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения ряда Фурье функции (f(x) = e^x), сначала найдем период функции (f(x)), который равен (2\pi), так как функция (e^x) - периодическая функция с периодом (2\pi).

Затем используем следующую формулу для нахождения коэффициентов ряда Фурье функции (f(x)):

[cn = \frac{1}{2\pi} \int{-\pi}^{\pi} e^x e^{-inx} dx]

Выполним интегрирование:

[cn = \frac{1}{2\pi} \int{-\pi}^{\pi} e^{(1 - in)x} dx]

[cn = \frac{1}{2\pi} \left[ \frac{e^{(1 - in)x}}{1 - in} \right]{-\pi}^{\pi}]

[c_n = \frac{1}{2\pi} \left( \frac{e^{(1 - in)\pi}}{1 - in} - \frac{e^{(1 - in)(-\pi)}}{1 - in} \right)]

[c_n = \frac{1}{2\pi (1 - in)} \left( e^{(1 - in)\pi} - e^{(1 + in)\pi} \right)]

Теперь мы можем записать ряд Фурье для функции (f(x) = e^x) в комплексной форме:

[f(x) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n e^{inx}]

где коэффициенты (c_n) даются вышеуказанным выражением.

Это только начальная стадия решения ряда Фурье для данной функции. Для получения окончательного результата потребуется дополнительные вычисления.