Полное исследование функции Исследуйте функцию y= корень из x + корень из (4-x)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для исследования функции y = √x + √(4-x) необходимо выполнить следующие шаги:

Определить область допустимых значений x.
Для функции y = √x + √(4-x) областью допустимых значений будет являться множество всех действительных чисел x, для которых выражение под корнем неотрицательно или равно нулю. Таким образом, область допустимых значений будет состоять из всех x от 0 до 4 включительно.

Найти точки пересечения функции с осями координат.
Для нахождения точек пересечения с осью OX (y=0) решим уравнение √x + √(4-x) = 0.
Получаем уравнение √x = -√(4-x).
Так как √x и √(4-x) являются всегда неотрицательными числами, то мы видим, что уравнение не имеет решений на множестве действительных чисел, и, следовательно, функция не пересекает ось OX.

Найти точки экстремума функции.
Для нахождения точек экстремума функции необходимо вычислить производные функции и приравнять их к нулю.
y' = 1/(2√x) - 1/(2√(4-x)).
Приравниваем производную к нулю:
1/(2√x) = 1/(2√(4-x))
√(4-x) = √x
4-x = x
x = 2
Таким образом, точка экстремума функции находится в точке (2, 2√2).

Исследовать поведение функции на участках между экстремумами и на концах области допустимых значений.
Проанализируем функцию на участках между 0 и 2 и между 2 и 4.
При x в интервале от 0 до 2 функция убывает и ограничена сверху значением √4 + √0 = 2.
При x в интервале от 2 до 4 функция возрастает и ограничена снизу значением экстремума в точке (2, 2√2) и сверху значением √4 + √(4-4) = 2 + 0 = 2.

Таким образом, проведенное исследование позволяет описать поведение функции y = √x + √(4-x) на всей области допустимых значений и указать на точки экстремума и места максимального и минимального значения функции.