Определите промежутки монотонности функции:
а) у= 9х2 – х3+11;
б) у= х3 – 6х2+9х+5;

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Функция у=9х2-х3+11 монотонна на каждом отрезке, где ее производная либо всегда положительна, либо всегда отрицательна. Для определения промежутков монотонности найдем производную функции: у'=18x-3x2. Решим у'=0: 18x-3x2=0 => x(3-6x)=0 => x=0 или x=1/2.

Теперь проведем знакоопределение производной на каждом из интервалов: x<0, 0<x<1/2, x>1/2.

Получаем следующую таблицу знаков:
x<0: у'>0
0<x<1/2: у'<0
x>1/2: у'>0

Следовательно, функция у=9х2-х3+11 убывает на интервале (0,1/2) и возрастает на интервалах (-бесконечность,0) и (1/2, +бесконечность).

б) Функция у=х3-6х2+9х+5. Найдем производную функции: у'=3x2-12x+9. Решим у'=0: 3x2-12x+9=0 => x2-4x+3=0 => (x-1)(x-3)=0 => x=1 или x=3.

Проведем знакоопределение производной на каждом из интервалов: x<1, 1<x<3, x>3.

Получаем следующую таблицу знаков:
x<1: у'>0
1<x<3: у'<0
x>3: у'>0

Следовательно, функция у=х3-6х2+9х+5 возрастает на интервале (1,3) и убывает на интервалах (-бесконечность,1) и (3, +бесконечность).