Теория чисел + колиечтсво простых чисел на промежутке У каждого из чисел от 9*10^n
до 12*10^n
выбрали делитель, меньший его самого.
Докажите, что хотя бы два из этих делителей совпадают

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем это утверждение от противного.

Предположим, что все выбранные делители для чисел от 910^n до 1210^n различны.

Рассмотрим наименьшее число в этом промежутке - 910^n. Ему выбрали делитель, меньший его самого, то есть делитель является числом от 1 до 910^n - 1. Так как предположение состоит в том, что все выбранные делители различны, то этот делитель для числа 9*10^n не может совпадать ни с одним из делителей для остальных чисел на этом промежутке.

Рассмотрим следующее число - 1010^n = 10^(n+1). Ему тоже выбрали делитель, меньший его самого. Так как делители для всех чисел на промежутке от 910^n до 12*10^n различны, то делитель для числа 10^(n+1) не совпадает с делителями для предыдущих чисел.

Продолжая аналогичные рассуждения для всех чисел на промежутке от 910^n до 1210^n, мы получим, что у каждого числа будет свой уникальный делитель.

Но если мы рассмотрим число 1110^n на этом промежутке, то его делитель, меньший самого числа, будет являться числом от 1 до 1110^n - 1, включая делители для всех предыдущих чисел. Поэтому делитель для числа 11*10^n совпадет с делителем для какого-то из предыдущих чисел, что противоречит нашему предположению о том, что все делители различны.

Таким образом, мы доказали, что хотя бы два из выбранных делителей для чисел от 910^n до 1210^n должны совпадать.