Как это доказать? Пусть радианная мера острого угла равна α. Докажите неравенство: sin α < α

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства этого неравенства можно воспользоваться разложением функции синус в ряд Тейлора:
sin x = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...

Так как угол α острый, то sin α и α положительны. Применив разложение синуса в ряд Тейлора, получим:
sin α = α - α^3/3! + α^5/5! - α^7/7! + ...

Так как в разложении синуса каждое следующее слагаемое знакочередующееся и уменьшается по модулю, то мы можем ограничить значение sin α сверху с помощью первых двух слагаемых:
sin α < α - α^3/3!

Для доказательства неравенства sin α < α остается показать, что α - α^3/3! > α, то есть - α^3/3! > 0, что верно для всех положительных углов α.

Таким образом, мы получили, что sin α < α, что и требовалось доказать.