Решите задачу по геометрии, при этом надо обосновать своё решение. В треугольник со сторонами `4`, `5`, `7` вписана окружность. Касательная, параллельная наименьшей стороне, разбивает данный треугольник на четырёхугольник и треугольник. Найдите площадь последнего.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть треугольник ABC имеет стороны 4, 5 и 7. Радиус вписанной окружности равен (r = \frac{2S{ABC}}{a+b+c} = \frac{2S{ABC}}{16}), где (S{ABC}) - площадь треугольника ABC.
Пусть M точка касания окружности с наименьшей стороной треугольника ABC. Точка, в которой касательная параллельная наименьшей стороне, пересекает бОльшую сторону треугольника, обозначим как D, а на оставшейся стороне – E. Так как касательная параллельна стороне, то треугольник AME прямоугольный. Зная, что (S{AMC} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot r = \frac{1}{8} \cdot S{ABC}), а также зная, что (S{AMC} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot CM), мы можем выразить значение (AM).

Формула площади треугольника по сторонам имеет вид: (S{\Delta AMC} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}), где (p = \frac{a+b+c}{2}) - полупериметр треугольника. Таким образом, (S{AMC}) равна (\sqrt{\frac{9}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}} = \frac{3}{4}). Зная при этом, что (AM = MC), мы можем посчитать площади треугольников AME и CMD. Площадь треугольника AED тогда равна (S{AED} = S{AMC} + S_{CMD} = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{3}{2}).