Обоснуйте своё решение задачи Две окружности радиусов `4` и `1` внешне касаются друг друга в точке `A`. Большая окружность (центр `O`) касается общей внешней касательной в точке `M`, меньшая (центр `Q`) – в точке `N`. Общая внутренняя касательная пересекает отрезок `MN` в точке `K`. Найдите радиус окружности вписанной в треугольник `AMK`.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть радиус окружности вписанной в треугольник AMK равен r.

Так как OQ = 4, то OQ = r + 1, а отсюда MQ = 4 - (r + 1) = 3 - r.

Также, по теореме касательных, NM^2 = MQ * MK.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ANM:

AM^2 = AN^2 + NM^2 = (r + 1)^2 + (3 - r)^2.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике AMK:

AK^2 + MK^2 = AM^2.

Так как r - радиус окружности вписанной в треугольник AMK, то AK = r, и тогда

r^2 + MK^2 = (r + 1)^2 + (3 - r)^2.

Сравнивая два последних уравнения, получаем

r^2 + MK^2 = (r + 1)^2 + (3 - r)^2.

Решаем уравнение:

r^2 + MK^2 = r^2 + 2r + 1 + 9 - 6r + r^2.

Сокращаем равенство:

MK^2 = 2r + 10.

Так как MK = 4 - r,

(4 - r)^2 = 2r + 10.

Раскрываем скобки и преобразуем уравнение:

16 - 8r + r^2 = 2r + 10.

r^2 - 10r + 6 = 0.

Решая это квадратное уравнение, находим, что r = 5 - sqrt(19).

Итак, радиус окружности, вписанной в треугольник AMK, равен 5 - sqrt(19).