1.Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой
у = - х^2 +4, прямой у = 3х и осью Ох
1.Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой
у = - х^2 +4, прямой у = 3х и осью Ох
2.Найдите площадь фигуры, ограниченной двумя параболами у = х^2 и у = 2х – х^2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Сначала найдем точки пересечения параболы и прямой:
-х^2 + 4 = 3x
x^2 + 3x - 4 = 0
(x + 4)(x - 1) = 0
x = -4 или x = 1

Таким образом, точки пересечения (у = -4) и (1, 3).

Площадь фигуры можно найти как интеграл от y = 3x до y = -x^2 + 4:
∫[3, -4] (-x^2 + 4 - 3x) dy
= ∫[3, -4] (-x^2 + 4 - 3x) dy
= ∫[3, -4] (4 - y) dy
= [4y - (1/2)y^2] |_[3,-4]
= 4 3 - (1/2)3^2 - (4 -4 - (1/2)(-4)^2)
= 12 - 4.5 + 16 - 8
= 15.5

Точки пересечения двух парабол:
x^2 = 2x - x^2
2x - 2x = x^2 + x^2
2x = 2x^2
x = 0 или x = 1

Площадь фигуры может быть найдена как разность интегралов y = x^2 и y = 2x - x^2 от x = 0 до x = 1:
∫[0, 1] (2x - x^2 - x^2) dx
= ∫[0, 1] (2x - 2x^2) dx
= [x^2 - (2/3)x^3] |_[0, 1]
= 1 - (2/3)
= 1/3

Ответ: 1. Площадь фигуры, ограниченной параболой y = -x^2 + 4, прямой y = 3x и осью Ox, равна 15.5.

Площадь фигуры, ограниченной двумя параболами y = x^2 и y = 2x - x^2, равна 1/3.