1.Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой
у = - х^2 +4, прямой у = 3х и осью О
1.Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой
у = - х^2 +4, прямой у = 3х и осью О
2.Найдите площадь фигуры, ограниченной двумя параболами у = х^2 и у = 2х – х^2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Сначала найдем точки пересечения параболы и прямой
-х^2 + 4 = 3
x^2 + 3x - 4 =
(x + 4)(x - 1) =
x = -4 или x = 1

Таким образом, точки пересечения (у = -4) и (1, 3).

Площадь фигуры можно найти как интеграл от y = 3x до y = -x^2 + 4
∫[3, -4] (-x^2 + 4 - 3x) d
= ∫[3, -4] (-x^2 + 4 - 3x) d
= ∫[3, -4] (4 - y) d
= [4y - (1/2)y^2] |_[3,-4
= 4 3 - (1/2)3^2 - (4 -4 - (1/2)(-4)^2
= 12 - 4.5 + 16 -
= 15.5

Точки пересечения двух парабол
x^2 = 2x - x^
2x - 2x = x^2 + x^
2x = 2x^
x = 0 или x = 1

Площадь фигуры может быть найдена как разность интегралов y = x^2 и y = 2x - x^2 от x = 0 до x = 1
∫[0, 1] (2x - x^2 - x^2) d
= ∫[0, 1] (2x - 2x^2) d
= [x^2 - (2/3)x^3] |_[0, 1
= 1 - (2/3
= 1/3

Ответ: 1. Площадь фигуры, ограниченной параболой y = -x^2 + 4, прямой y = 3x и осью Ox, равна 15.5.

Площадь фигуры, ограниченной двумя параболами y = x^2 и y = 2x - x^2, равна 1/3.