Интересна задачка по математике
Натуральные числа x и y таковы, что x2=y3. Докажите, что число xy является пятой степенью некоторого натурального числа.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем это утверждение методом бесконечного спуска.

Предположим, что xy не является пятой степенью натурального числа. Тогда в разложении числа xy на простые множители будет присутствовать простое число p, степень которого в разложении будет не деляться на 5. То есть существует такое простое число p и натуральное число k, что p^k является делителем числа xy, но k не делится на 5.

Так как xy = x^2 * y^3, то p^k также является делителем чисел x^2 и y^3. Так как p^k делит x^2, то p^(k/2) делит x. Также p^k делит y^3, то p^(k/3) делит y.

Теперь рассмотрим числа x = p^(k/2) и y = p^(k/3). Они также удовлетворяют условию задачи, то есть x^2 = p^k/2 и y^3 = p^k/3. Таким образом, мы пришли к контрпримеру, что xyz не является минимальным. Противоречие.

Таким образом, число xy обязательно является пятой степенью некоторого натурального числа.