Как с помощью теоремы Бэра доказать, что множество R - несчетно? Теорема Бэра - полное метрическое пространство является пространством второй категории.

Если метрическое пространство представимо в виде объединения счётной совокупности нигде не плотных множеств, то оно является пространством первой категории. Иначе - второй категории.

Требуется с помощью теоремы Бэра доказать, что множество R - несчетно. Как это сделать?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала докажем, что множество действительных чисел является полным метрическим пространством. Это означает, что любая фундаментальная последовательность чисел сходится к какому-то пределу, который также является действительным числом.

Теперь предположим, что множество действительных чисел является счетным. Это означает, что его элементы можно упорядочить в последовательность a1, a2, a3, ... и так далее, где каждое действительное число встречается ровно один раз.

Рассмотрим множество всех интервалов с рациональными концами и длиной, равной 1/2^n, где n - натуральное число. Это множество состоит из счётного числа интервалов, и каждый интервал можно представить в виде открытого нигде не плотного множества.

Согласно теореме Бэра, полное метрическое пространство (действительные числа) не может быть представлено в виде объединения счётного числа нигде не плотных множеств. Таким образом, множество действительных чисел не может быть счетным и, следовательно, оно несчетно.