Выражение x! = a! * k!, где x,a,k - натуральные, a - число, x, k - переменные. Всегда ли 2 целых корня x? x принимает только значения a и a! как корень. (И k соотв. 1 и a-1) Как это можно доказать?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы доказать, что уравнение x! = a! * k! имеет только два целых корня, различных от a и a!, рассмотрим его более подробно.

Мы знаем, что факториал от натурального числа x обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до x. Аналогично, a! и k! обозначают произведения всех натуральных чисел от 1 до a и от 1 до k соответственно.

Исходное уравнение x! = a! * k! можно переписать в виде x! / a! = k!. Это означает, что x! делится на a! без остатка.

Рассмотрим, что происходит с x! при делении на a!. Так как x! = x (x-1) ... (a+1) a!, то при делении на a! все множители вида (a+i), где i>0, будут сокращаться и мы получим, что x! / a! = x (x-1) ... * (a+1).

Таким образом, x! делится на a! без остатка тогда и только тогда, когда x равно a или меньше a. Поэтому x может принимать только значения a и a!.

Итак, уравнение x! = a! * k! имеет только два целых корня: x = a и x = a!.