Найдите общее решение однородного дифференциального уравнения
xy' - y(ln y - ln x) = 0.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения общего решения однородного дифференциального уравнения сначала перепишем его в виде:

y' - (ln y - ln x)/x = 0.

Теперь заметим, что данное уравнение имеет вид уравнения вида y' + P(x)y = 0, где P(x) = -(ln y - ln x)/x. Решение такого уравнения можно найти методом вариации постоянной.

Пусть y = v(x)*u(x), тогда y' = v'u + vu'. Подставим это в уравнение:

v'u + vu' + P(x)vu = 0.

Теперь выразим из уравнения v'u и vu':

v'u = -vuP(x) - vu',

vu' = -v'uP(x) - vu'.

Подставляем полученные значения в уравнение:

-vuP(x) - vu' + vuP(x) = 0.

-vu' = 0,

vu = C.

Итак, общее решение однородного дифференциального уравнения xy' - y(ln y - ln x) = 0 имеет вид y = Cx, где C - произвольная постоянная.