Показать что любое числовое поле является векторным пространством над полем рациональных чисел

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы показать что любое числовое поле является векторным пространством над полем рациональных чисел, нужно проверить выполнение всех аксиом векторного пространства:

Сложение векторов: даны два элемента поля (x, y), их сумма (x + y) также принадлежит тому же полю.Умножение на число: для любого элемента поля (x) и любого числа (\alpha) из поля рациональных чисел, произведение ( \alpha x) также принадлежит тому же полю.Аксиомы сложения и умножения
a. Коммутативность сложения: (x + y = y + x
b. Ассоциативность сложения: ((x + y) + z = x + (y + z)
c. Существование нулевого элемента: существует вектор (0), такой что для любого вектора (x), (0 + x = x
d. Существование противоположного элемента: для любого вектора (x) существует вектор (-x), такой что (x + (-x) = 0
e. Индентичность умножения: для любого вектора (x), (\alpha \cdot x = x
f. Дистрибутивность умножения относительно сложения чисел: ((\alpha + \beta) \cdot x = \alpha \cdot x + \beta \cdot x
g. Дистрибутивность умножения относительно сложения векторов: (\alpha \cdot (x + y) = \alpha \cdot x + \alpha \cdot y
h. Ассоциативность умножения: (\alpha \cdot (\beta \cdot x) = (\alpha \cdot \beta) \cdot x
i. Единица умножения: существует число 1, такое что для любого вектора (x), (1 \cdot x = x)

Таким образом, любое числовое поле является векторным пространством над полем рациональных чисел, так как оно удовлетворяет всем вышеперечисленным аксиомам.