Докажите, что в любом четырёхугольнике найдётся диагональ, целиком в нём содержащаяся.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства этого утверждения, рассмотрим четырехугольник ABCD и проведем диагонали AC и BD.

Пусть точка пересечения диагоналей обозначается буквой O. Так как диагонали пересекаются, то треугольники AOB, BOC, COD и DOA не могут быть вырожденными, то есть все они имеют ненулевую площадь.

Так как сумма углов в любом треугольнике равна 180 градусам, то сумма углов треугольников AOB и COD равна углу ACD, а сумма углов треугольников BOC и DOA равна углу ACB.

Таким образом, углы AOC и BOD являются смежными углами, а значит, их сумма также равна 180 градусам.

Осталось заметить, что четырехугольник ABCD можно разделить диагональю AO на два треугольника AOB и COD, которые содержат всю площадь четырехугольника. Это означает, что диагональ AO целиком содержится внутри четырехугольника ABCD.

Таким образом, в любом четырехугольнике найдется диагональ, целиком содержащаяся в нем.