Математика. Алгебра. Задача По кругу расставлены семь различных натуральных чисел, а также дано натуральное число п. Оказалось, что для любых соседних в кругу х, у выполнено НОД(х - у, n) > 1, а для любых не соседних в кругу х, у выполнено НОД(х - у, n) = 1. Найдите наименьшее возможное п.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что все числа математически различны, так как иначе НОД(х−у,n)=1, что противоречит условию.

Теперь рассмотрим пары чисел, расположенных рядом в кольце. Если у нас есть число x, то мы не можем иметь числа x+1 и x−1 среди соседних чисел. Значит, среди соседних чисел у нас будут стоять только числа x+n и x−n для некоторого натурального n. Так как все числа различны, то можно заметить, что все числа слева и справа от числа x принадлежат к различным классам вычетов по модулю n.

Таким образом, натуральное число n должно делить разность между любой парой чисел, расположенных рядом в кольце. Так как все числа различны, то это означает, что n является наименьшим общим делителем для всех разностей вида x−y, где x и y — различные числа из нашего множества.

Поскольку нам нужно найти наименьшее возможное n, то можно заметить, что наименьшее возможное n должно делиться на (7−1)=6, так как разность двух соседних чисел в кольце не может делиться на 2.

С другой стороны, разность между не соседними числами обязана быть неразделимой на n. Так как признаки делимости для чисел, отличных на 1, отличаются для делителей 2 и для простых делителей, то n должно быть равно НОK(1,2,3,4,5,6)=60.

Ответ: наименьшее возможное n равно 60.