Простая геометрическая задача. Биссектриса угла при основании равнобедренного вдвое длиннее биссектрисы, проведённой из вершины.
Доказать, что центры вписанной и описанной окружностей этого треугольника симметричны относительно основания.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия задачи мы имеем, что биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника равна $2x$, а биссектриса, проведенная из вершины, равна $x$.

Пусть центр вписанной окружности треугольника равен $I$, а центр описанной окружности - $O$. Поскольку $IB$ - биссектриса угла при основании, а $IC$ - биссектриса, проведенная из вершины, мы можем записать, что $IB = 2x$ и $IC = x$.

Также известно, что точка пересечения биссектрис треугольника лежит на центральной линии, поэтому $BI = CI$. Это означает, что треугольник $IBO$ равнобедренный (так как у него две равные стороны $IB$ и $IO$), а значит $\angle IBO = \angle IBO$. Теперь рассмотрим дополнительный угол $\angle OBI = 180^{\circ} - \angle IBO - \angle IBP = 180^{\circ} - \angle IBO - \frac{1}{2}\angle B = \angle IBC = \angle ICB$.

Из полученного равенства углов следует, что $IB = IB$, что и требовалось доказать.