Найти экстремумы алгебра 11класс Найти экстремумы функции и расписать f(x)=3e^2x-2e^3x.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы найти экстремумы функции ( f(x) = 3e^{2x} - 2e^{3x} ), нужно сначала найти её производную и затем изучить её поведение.

Найдем производную функции:

[
f'(x) = \frac{d}{dx}(3e^{2x}) - \frac{d}{dx}(2e^{3x})
]

Применим правило дифференцирования экспоненциальной функции:

[
f'(x) = 3 \cdot 2e^{2x} - 2 \cdot 3e^{3x}
]

Упрощаем:

[
f'(x) = 6e^{2x} - 6e^{3x}
]

Вынесем общий множитель ( 6e^{2x} ):

[
f'(x) = 6e^{2x}(1 - e^{x})
]

Найдем критические точки:

Критические точки находятся из условия ( f'(x) = 0 ):

[
6e^{2x}(1 - e^{x}) = 0
]

Поскольку ( 6e^{2x} \neq 0 ) для любого ( x ), то:

[
1 - e^{x} = 0 \implies e^{x} = 1 \implies x = 0
]

Определим интервалы знаков производной:

Исследуем знак ( f'(x) ) на интервалах ( (-\infty, 0) ) и ( (0, +\infty) ):

При ( x < 0 ):
( e^{x} < 1 \implies 1 - e^{x} > 0 ), следовательно, ( f'(x) > 0 ).

При ( x > 0 ):
( e^{x} > 1 \implies 1 - e^{x} < 0 ), следовательно, ( f'(x) < 0 ).

Тип экстремума:

Вычислим значение функции в экстремуме:

[
f(0) = 3e^{0} - 2e^{0} = 3 - 2 = 1
]

Таким образом, функция ( f(x) = 3e^{2x} - 2e^{3x} ) имеет максимум в точке ( x = 0 ) с значением ( f(0) = 1 ).