Чтобы найти экстремумы функции ( f(x) = 3e^{2x} - 2e^{3x} ), нужно сначала найти её производную и затем изучить её поведение.
Найдем производную функции:
f'(x) = \frac{d}{dx}(3e^{2x}) - \frac{d}{dx}(2e^{3x}]
Применим правило дифференцирования экспоненциальной функции:
f'(x) = 3 \cdot 2e^{2x} - 2 \cdot 3e^{3x]
Упрощаем:
f'(x) = 6e^{2x} - 6e^{3x]
Вынесем общий множитель ( 6e^{2x} ):
f'(x) = 6e^{2x}(1 - e^{x}]
Найдем критические точки:
Критические точки находятся из условия ( f'(x) = 0 ):
6e^{2x}(1 - e^{x}) = ]
Поскольку ( 6e^{2x} \neq 0 ) для любого ( x ), то:
1 - e^{x} = 0 \implies e^{x} = 1 \implies x = ]
Определим интервалы знаков производной:
Исследуем знак ( f'(x) ) на интервалах ( (-\infty, 0) ) и ( (0, +\infty) ):
При ( x < 0 )( e^{x} < 1 \implies 1 - e^{x} > 0 ), следовательно, ( f'(x) > 0 ).
При ( x > 0 )( e^{x} > 1 \implies 1 - e^{x} < 0 ), следовательно, ( f'(x) < 0 ).
Тип экстремума:
Вычислим значение функции в экстремуме:
f(0) = 3e^{0} - 2e^{0} = 3 - 2 = ]
Таким образом, функция ( f(x) = 3e^{2x} - 2e^{3x} ) имеет максимум в точке ( x = 0 ) с значением ( f(0) = 1 ).
Чтобы найти экстремумы функции ( f(x) = 3e^{2x} - 2e^{3x} ), нужно сначала найти её производную и затем изучить её поведение.
Найдем производную функции:
f'(x) = \frac{d}{dx}(3e^{2x}) - \frac{d}{dx}(2e^{3x}
]
Применим правило дифференцирования экспоненциальной функции:
f'(x) = 3 \cdot 2e^{2x} - 2 \cdot 3e^{3x
]
Упрощаем:
f'(x) = 6e^{2x} - 6e^{3x
]
Вынесем общий множитель ( 6e^{2x} ):
f'(x) = 6e^{2x}(1 - e^{x}
]
Найдем критические точки:
Критические точки находятся из условия ( f'(x) = 0 ):
6e^{2x}(1 - e^{x}) =
]
Поскольку ( 6e^{2x} \neq 0 ) для любого ( x ), то:
1 - e^{x} = 0 \implies e^{x} = 1 \implies x =
]
Определим интервалы знаков производной:
Исследуем знак ( f'(x) ) на интервалах ( (-\infty, 0) ) и ( (0, +\infty) ):
При ( x < 0 )
( e^{x} < 1 \implies 1 - e^{x} > 0 ), следовательно, ( f'(x) > 0 ).
При ( x > 0 )
( e^{x} > 1 \implies 1 - e^{x} < 0 ), следовательно, ( f'(x) < 0 ).
Тип экстремума:
При ( x = 0 ) производная меняет знак с положительного на отрицательный, значит, в точке ( x = 0 ) находится максимум.Вычислим значение функции в экстремуме:
f(0) = 3e^{0} - 2e^{0} = 3 - 2 =
]
Таким образом, функция ( f(x) = 3e^{2x} - 2e^{3x} ) имеет максимум в точке ( x = 0 ) с значением ( f(0) = 1 ).