На сторонах BC и CD квадрата ABCD отмечены точки X и Y соответственно. Оказалось, что AX=2XY, ∠AXY=90°, AY=20. Найдите сторону квадрата

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим сторону квадрата ABCD как ( a ). Мы можем поместить квадрат в координатной плоскости следующим образом:

( A(0, a) )( B(0, 0) )( C(a, 0) )( D(a, a) )

Пусть точка ( X ) на стороне ( BC ) имеет координаты ( (0, y_X) ), где ( 0 \leq y_X \leq a ), а точка ( Y ) на стороне ( CD ) имеет координаты ( (x_Y, 0) ), где ( a \geq x_Y \geq 0 ).

По условию:

( AX = 2XY )( \angle AXY = 90^\circ )( AY = 20 )

Сначала найдем длины ( AX ) и ( AY ):

Длина ( AX ) определяется как:
[
AX = \sqrt{(0 - 0)^2 + (y_X - a)^2} = |y_X - a|
]Длина ( AY ) равна 20, что означает:
[
AY = \sqrt{(x_Y - 0)^2 + (0 - a)^2} = \sqrt{x_Y^2 + a^2} = 20
]

Теперь найдём длину ( XY ):
[
XY = \sqrt{(x_Y - 0)^2 + (0 - y_X)^2} = \sqrt{x_Y^2 + y_X^2}
]

Из условия ( AX = 2XY ):
[
|y_X - a| = 2\sqrt{x_Y^2 + y_X^2}
]

Так как ( \angle AXY = 90^\circ ), мы можем использовать теорему Пифагора на треугольнике ( AXY ):
[
AX^2 + AY^2 = XY^2
]
Подставим все известные выражения:
[
|y_X - a|^2 + 20^2 = x_Y^2 + y_X^2
]

Рассмотрим два случая для ( |y_X - a| ):

Случай 1: ( y_X \leq a ) (в этом случае ( |y_X - a| = a - y_X ))
Тогда уравнение становится:
[
(a - y_X)^2 + 400 = x_Y^2 + y_X^2
]
Раскроем скобки:
[
a^2 - 2ay_X + y_X^2 + 400 = x_Y^2 + y_X^2
]
Упрощая, получаем:
[
a^2 - 2ay_X + 400 = x_Y^2
]

Сейчас у нас есть два уравнения:

( AX = 2XY )
[
a - y_X = 2\sqrt{x_Y^2 + y_X^2}
]( a^2 - 2ay_X + 400 = x_Y^2 )

При ( \angle AXY = 90^\circ ) мы можем также выразить ( a ) через точки ( X ) и ( Y ). Следовательно мы можем использовать ( AQ^2 + AY^2 = XY^2 ) для нахождения ( a ). Однако упрощение первого уравнения может дать нам необходимую зависимость.

Попробуем подставить ( y_X = a/2 ), предполагая, что это упрощит расчет. Проверим:
[
20^2 = x_Y^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2
]
Попробуем найти ( x_Y ):
[
400 = x_Y^2 + \frac{a^2}{4}
]
Отсюда ( x_Y^2 = 400 - \frac{a^2}{4} ), а теперь подставляем это значение в ( AX ):
[
AX = a - \frac{a}{2} = \frac{a}{2}
]

Теперь подставляя ( \frac{a}{2} = 2\sqrt{400 - \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} ):
[
\frac{a}{2} = 2\sqrt{400}
]
Упрощая:
[
\frac{a}{2} = 40 \Rightarrow a = 80
]

Таким образом, сторона квадрата равна ( 80 ). Проверим:

( AY = 20 ) подходит (у нас выбран каждая из переменной ( Y ) соответственно остается ( x_Y = \sqrt{400 - 0} = 20)).Условия ( AX = 2XY ) также будут выполнены, так как:
[
\frac{80}{2} = 2 \cdot 40
]

Таким образом, сторона квадрата ( ABCD ) равна 80.