Давайте упростим данное выражение шаг за шагом.
Исходное выражение:[\frac{a^2b + ab^2}{a^2 - b^2} \times \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right)]
Упростим первую часть (\frac{a^2b + ab^2}{a^2 - b^2}):
В числителе можно вынести общий множитель (ab):[a^2b + ab^2 = ab(a + b)]
В знаменателе (a^2 - b^2) является разностью квадратов и раскладывается на множители:[a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)]
Теперь подставим это в выражение:[\frac{ab(a + b)}{(a - b)(a + b)}]
(a + b) в числителе и знаменателе сокращается (при условии, что (a + b \neq 0)):[= \frac{ab}{a - b}]
Теперь упростим вторую часть (\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right)):[\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{ab}]
Теперь подставим все обратно в выражение:[\frac{ab}{a - b} \times \frac{b - a}{ab}]
Так как (b - a = -(a - b)), то подставляем:[= \frac{ab}{a - b} \times \frac{-(a - b)}{ab}]
Теперь (ab) в числителе и знаменателе сокращаются (при условии, что (ab \neq 0)):[= -1]
Таким образом, окончательный ответ:[\boxed{-1}]
Давайте упростим данное выражение шаг за шагом.
Исходное выражение:
[
\frac{a^2b + ab^2}{a^2 - b^2} \times \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right)
]
Упростим первую часть (\frac{a^2b + ab^2}{a^2 - b^2}):
В числителе можно вынести общий множитель (ab):
[
a^2b + ab^2 = ab(a + b)
]
В знаменателе (a^2 - b^2) является разностью квадратов и раскладывается на множители:
[
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
]
Теперь подставим это в выражение:
[
\frac{ab(a + b)}{(a - b)(a + b)}
]
(a + b) в числителе и знаменателе сокращается (при условии, что (a + b \neq 0)):
[
= \frac{ab}{a - b}
]
Теперь упростим вторую часть (\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right)):
[
\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{ab}
]
Теперь подставим все обратно в выражение:
[
\frac{ab}{a - b} \times \frac{b - a}{ab}
]
Так как (b - a = -(a - b)), то подставляем:
[
= \frac{ab}{a - b} \times \frac{-(a - b)}{ab}
]
Теперь (ab) в числителе и знаменателе сокращаются (при условии, что (ab \neq 0)):
[
= -1
]
Таким образом, окончательный ответ:
[
\boxed{-1}
]