Существует ли придел? Существует ли lim(x*sgn(x-1)), при x стремящемся к 1? Где sgn(x)={1 при х>0; 0 при х=0; -1 при х<0}

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы найти предел функции ( \lim_{x \to 1} (x \cdot \text{sgn}(x - 1)) ), давайте сначала разберёмся, что такое функция ( \text{sgn}(x - 1) ).

Функция знака определена как:

( \text{sgn}(x - 1) = 1 ) при ( x > 1 )( \text{sgn}(x - 1) = 0 ) при ( x = 1 )( \text{sgn}(x - 1) = -1 ) при ( x < 1 )

Теперь рассмотрим предел с разных сторон:

Слева от 1 ( ( x \to 1^- ) ):

При ( x < 1 ) мы имеем ( \text{sgn}(x - 1) = -1 ).Таким образом, ( x \cdot \text{sgn}(x - 1) = x \cdot (-1) = -x ).Предел будет:
[
\lim{x \to 1^-} (x \cdot \text{sgn}(x - 1)) = \lim{x \to 1^-} (-x) = -1.
]

Справа от 1 ( ( x \to 1^+ ) ):

При ( x > 1 ) мы имеем ( \text{sgn}(x - 1) = 1 ).Таким образом, ( x \cdot \text{sgn}(x - 1) = x \cdot 1 = x ).Предел будет:
[
\lim{x \to 1^+} (x \cdot \text{sgn}(x - 1)) = \lim{x \to 1^+} x = 1.
]

Теперь мы видим, что:

( \lim_{x \to 1^-} (x \cdot \text{sgn}(x - 1)) = -1 )( \lim_{x \to 1^+} (x \cdot \text{sgn}(x - 1)) = 1 )

Так как пределы слева и справа не равны, предел ( \lim_{x \to 1} (x \cdot \text{sgn}(x - 1)) ) не существует.