Решить уравнение, и найти все корни заданого отрезка А) Решите уравнение √13х-9)-х=1
Б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2√3/3; 10√3)-7].
Напишите полное решение

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения уравнения ( \sqrt{13x - 9} - x = 1 ), сначала преобразуем его:

Изолируем корень:
[
\sqrt{13x - 9} = x + 1
]

Квадратируем обе стороны:
[
13x - 9 = (x + 1)^2
]

Раскроем скобки:
[
13x - 9 = x^2 + 2x + 1
]

Переносим все элементы на одну сторону уравнения:
[
0 = x^2 + 2x + 1 - 13x + 9
]
[
0 = x^2 - 11x + 10
]

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 121 - 40 = 81
]
Так как дискриминант положительный, у уравнения два различных корня.

Находим корни:
[
x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 \pm 9}{2}
]
[
x_1 = \frac{20}{2} = 10, \quad x_2 = \frac{2}{2} = 1
]

Теперь у нас есть корни: ( x_1 = 10 ), ( x_2 = 1 ).

Проверим найденные корни на предмет их соответствия исходному уравнению:
Для ( x = 10 ):
[
\sqrt{13 \cdot 10 - 9} - 10 = \sqrt{121} - 10 = 11 - 10 = 1 \quad \text{(корень верный)}
]Для ( x = 1 ):
[
\sqrt{13 \cdot 1 - 9} - 1 = \sqrt{4} - 1 = 2 - 1 = 1 \quad \text{(корень верный)}
]

Таким образом, все корни ( x = 1 ) и ( x = 10 ) являются решениями уравнения.

Часть Б: Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ([2\sqrt{3}/3; 10\sqrt{3} - 7]).

Сначала вычислим границы отрезка:

( 2\sqrt{3}/3 \approx 1.155 )( 10\sqrt{3} - 7 \approx 10 \cdot 1.732 - 7 \approx 17.32 - 7 \approx 10.32 )

Теперь сравним найденные корни с границами отрезка:

Корень ( x = 1 ) попадает в интервал ([2\sqrt{3}/3; 10\sqrt{3} - 7]), так как ( 1 \approx 1.155 ) не попадает в этот интервал.Корень ( x = 10 ) попадает в интервал ([2\sqrt{3}/3; 10\sqrt{3} - 7]) (так как ( 10 \approx 10.32 ) и он находится в интервале).

Итак, единственный корень уравнения, который принадлежит заданному отрезку, это:

[
\boxed{10}
]