Нужно решить уравнение √70cosx + √70sinx - √35 = 0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения уравнения ( \sqrt{70} \cos x + \sqrt{70} \sin x - \sqrt{35} = 0 ) давайте сначала упростим его. Переносим (-\sqrt{35}) на правую сторону:

[
\sqrt{70} \cos x + \sqrt{70} \sin x = \sqrt{35}
]

Теперь мы можем выделить общий множитель (\sqrt{70}):

[
\sqrt{70} (\cos x + \sin x) = \sqrt{35}
]

Поделим обе стороны на (\sqrt{70}):

[
\cos x + \sin x = \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{70}}
]

Рассмотрим правую сторону:

[
\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{70}} = \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35 \cdot 2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
]

Теперь у нас имеется уравнение:

[
\cos x + \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}
]

Используем известное преобразование: мы можем выразить (\cos x + \sin x) как:

[
\sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)
]

Тогда уравнение примет вид:

[
\sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
]

Делим обе стороны на (\sqrt{2}):

[
\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}
]

Теперь решим это уравнение. У нас есть:

[
x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi
]

Где ( k ) — любое целое число.

Решая первое уравнение:

[
x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2k\pi = \frac{2\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} + 2k\pi = -\frac{\pi}{12} + 2k\pi
]

Решая второе уравнение:

[
x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2k\pi = \frac{10\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} + 2k\pi = \frac{7\pi}{12} + 2k\pi
]

Таким образом, все решения уравнения:

[
x = -\frac{\pi}{12} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{7\pi}{12} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
]