Для решения уравнения ( \sqrt{70} \cos x + \sqrt{70} \sin x - \sqrt{35} = 0 ) давайте сначала упростим его. Переносим (-\sqrt{35}) на правую сторону:
[\sqrt{70} \cos x + \sqrt{70} \sin x = \sqrt{35}]
Теперь мы можем выделить общий множитель (\sqrt{70}):
[\sqrt{70} (\cos x + \sin x) = \sqrt{35}]
Поделим обе стороны на (\sqrt{70}):
[\cos x + \sin x = \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{70}}]
Рассмотрим правую сторону:
[\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{70}} = \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35 \cdot 2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}]
Теперь у нас имеется уравнение:
[\cos x + \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}]
Используем известное преобразование: мы можем выразить (\cos x + \sin x) как:
[\sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)]
Тогда уравнение примет вид:
[\sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}]
Делим обе стороны на (\sqrt{2}):
[\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}]
Теперь решим это уравнение. У нас есть:
[x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi]
Где ( k ) — любое целое число.
Решая первое уравнение:
[x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2k\pi = \frac{2\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} + 2k\pi = -\frac{\pi}{12} + 2k\pi]
Решая второе уравнение:
[x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2k\pi = \frac{10\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} + 2k\pi = \frac{7\pi}{12} + 2k\pi]
Таким образом, все решения уравнения:
[x = -\frac{\pi}{12} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{7\pi}{12} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}]
Для решения уравнения ( \sqrt{70} \cos x + \sqrt{70} \sin x - \sqrt{35} = 0 ) давайте сначала упростим его. Переносим (-\sqrt{35}) на правую сторону:
[
\sqrt{70} \cos x + \sqrt{70} \sin x = \sqrt{35}
]
Теперь мы можем выделить общий множитель (\sqrt{70}):
[
\sqrt{70} (\cos x + \sin x) = \sqrt{35}
]
Поделим обе стороны на (\sqrt{70}):
[
\cos x + \sin x = \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{70}}
]
Рассмотрим правую сторону:
[
\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{70}} = \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35 \cdot 2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
]
Теперь у нас имеется уравнение:
[
\cos x + \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}
]
Используем известное преобразование: мы можем выразить (\cos x + \sin x) как:
[
\sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)
]
Тогда уравнение примет вид:
[
\sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
]
Делим обе стороны на (\sqrt{2}):
[
\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}
]
Теперь решим это уравнение. У нас есть:
[
x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi
]
Где ( k ) — любое целое число.
Решая первое уравнение:
[
x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2k\pi = \frac{2\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} + 2k\pi = -\frac{\pi}{12} + 2k\pi
]
Решая второе уравнение:
[
x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2k\pi = \frac{10\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} + 2k\pi = \frac{7\pi}{12} + 2k\pi
]
Таким образом, все решения уравнения:
[
x = -\frac{\pi}{12} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{7\pi}{12} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
]