Алгебра, разложение выражения с помощью дискриминанта для метода интервалов У нас есть выражение, допустим, x^2 - 5x + 6 ≥ 0. Приравниваем к 0x^2 - 5x + 6=0 Нам надо, что бы мы могли прираврять x к 0, то есть что бы выражение приняло вид (x±a)(x±b), ну то есть что бы при перемножении этих скобок мы получали исходное выражение, а именно x^2 - 5x + 6=0. Справедливо ли, что за ±a и ±b мы всегда можем взять корни, найденные дискриминантом с обратным им знаком? x^2-5x+6=0 a=1, b=-5, c=6D=25-4*1*6=1. √d=1(5-1)/2 и (5+1)/2, тоесть 2 и 3. то есть, (x-2)(x-3).(x-2)(x-3)=x²-3x-2x+6, тоесть x²-6x+6, а это наше исходное выражение. Проверил на паре примеров, работает. Можно ли так решать, или это работает от случая к случаю?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

В вашем рассуждении есть некоторые ошибки и недоразумения, но сама идея использованию дискриминанта и разложению квадратного трехчлена правильная. Давайте разберемся с вашими шагами и уточним некоторые моменты.

У вас есть неравенство ( x^2 - 5x + 6 \geq 0 ).Вы правильно приравниваете это выражение к нулю: ( x^2 - 5x + 6 = 0 ).Далее вы вычисляете дискриминант ( D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 ).Корни этого уравнения находятся по формуле: ( x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ). Подставляя значения, вы получаете:
( x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2 )( x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3 )

Теперь, вы правильно выполнили разложение на множители:
[
x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
]
и это выражение верно.

Теперь давайте разъясним, что вы можете взять ( \pm a ) и ( \pm b ) как корни, но лишь если эти корни правильно определены. Ваша идея использовать корни, найденные с помощью дискриминанта, абсолютно правильна, однако не стоит забывать, что знак ( ± ) показывает, что вы будете использовать оба корня.

Теперь, чтобы решить неравенство ( (x - 2)(x - 3) \geq 0 ), нужно провести анализ:

Знаем, что корни уравнения (т.е. точки, где выражение равно нулю) — это ( x = 2 ) и ( x = 3 ).Выражение ( (x - 2)(x - 3) ) меняет знак в этих точках.Теперь, проводим тестирование знаков в интервалах:
Для ( x < 2 ) (например, ( x = 1 )): ( (1 - 2)(1 - 3) = (-1)(-2) = 2 \geq 0 ) (положительно)Для ( 2 < x < 3 ) (например, ( x = 2.5 )): ( (2.5 - 2)(2.5 - 3) = (0.5)(-0.5) = -0.25 < 0 ) (отрицательно)Для ( x > 3 ) (например, ( x = 4 )): ( (4 - 2)(4 - 3) = (2)(1) = 2 \geq 0 ) (положительно)

Таким образом, решением неравенства ( (x - 2)(x - 3) \geq 0 ) будут интервалы:
[
(-\infty, 2] \cup [3, +\infty)
]
И точки ( x = 2 ) и ( x = 3 ) включаются в решение, так как у нас нестрогое неравенство.

Таким образом, ваш метод вполне допустим, и при наличии правильных корней, разложение выражения с использованием дискриминанта работает в каждом случае, но само решение неравенства требует дополнительного анализа знаков.