Преобразуйте, плз, нижеуказанную последовательность в ряд Фурье? 1; 2; 3; 4; 1; 2; 3; 4; 1; 2; ...

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Данная последовательность может быть описана как периодическая функция с периодом ( T = 4 ). В данной последовательности значения функции принимают значения:

На отрезке ( [0,1) ): ( f(t) = 1 )На отрезке ( [1,2) ): ( f(t) = 2 )На отрезке ( [2,3) ): ( f(t) = 3 )На отрезке ( [3,4) ): ( f(t) = 4 )

Функция ( f(t) ) будет иметь такие значения:

[
f(t) =
\begin{cases}
1, & 0 \leq t < 1 \
2, & 1 \leq t < 2 \
3, & 2 \leq t < 3 \
4, & 3 \leq t < 4 \
\end{cases}
]

Для нахождения коэффициентов Фурье сначала найдем постоянный коэффициент ( a_0 ):

[
a_0 = \frac{1}{T} \int_0^T f(t) dt = \frac{1}{4} \left( \int_0^1 1 \, dt + \int_1^2 2 \, dt + \int_2^3 3 \, dt + \int_3^4 4 \, dt \right)
]

Вычислим каждый интеграл:

( \int_0^1 1 \, dt = 1 )( \int_1^2 2 \, dt = 2 \cdot (2 - 1) = 2 )( \int_2^3 3 \, dt = 3 \cdot (3 - 2) = 3 )( \int_3^4 4 \, dt = 4 \cdot (4 - 3) = 4 )

Теперь подставим:

[
a_0 = \frac{1}{4} (1 + 2 + 3 + 4) = \frac{10}{4} = 2.5
]

Теперь находим коэффициенты ( a_n ) и ( b_n ) для ( n \geq 1 ):

[
a_n = \frac{1}{2} \int_0^T f(t) \cos\left(\frac{2 \pi n t}{T}\right) dt
]
[
b_n = \frac{1}{2} \int_0^T f(t) \sin\left(\frac{2 \pi n t}{T}\right) dt
]

В случае нашей функции, будет:

Для ( a_n ):

[
a_n = \frac{1}{2} \left( \int_0^1 \cos\left( \frac{2 \pi n t}{4} \right) dt + 2 \int_1^2 \cos\left( \frac{2 \pi n t}{4} \right) dt + 3 \int_2^3 \cos\left( \frac{2 \pi n t}{4} \right) dt + 4 \int_3^4 \cos\left( \frac{2 \pi n t}{4} \right) dt \right)
]

Для ( b_n ):

[
b_n = \frac{1}{2} \left( \int_0^1 \sin\left( \frac{2 \pi n t}{4} \right) dt + 2 \int_1^2 \sin\left( \frac{2 \pi n t}{4} \right) dt + 3 \int_2^3 \sin\left( \frac{2 \pi n t}{4} \right) dt + 4 \int_3^4 \sin\left( \frac{2 \pi n t}{4} \right) dt \right)
]

Интегралы можно вычислить, получив соответствующие ( a_n ) и ( b_n ).

Таким образом, ряд Фурье данной функции будет записан в виде:

[
f(t) = a0 + \sum{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\left( \frac{2 \pi n t}{4} \right) + b_n \sin\left( \frac{2 \pi n t}{4} \right) \right)
]

Где ( a_0 = 2.5 ), и ( a_n ) и ( b_n ) можно найти конкретно путем вычисления соответствующих интегралов.