Задача математика 10кл На доске были написаны не обязательно разные неотрицательные целые числа. Коля вычел из каждого исходного числа 1, затем сложил модули всех получившихся чисел, и получил сумму S1. Вася вычел из каждого исходного числа на доске 2, затем сложил модули всех получившихся чисел, и получил сумму S2 Наконец Андрей вычел из каждого исходного числа на доске 3, затем сложил модули всех получившихся чисел, и получил сумму S3. Сколько двоек было написано на доске?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим количество чисел на доске как ( n ), а сами числа — ( a_1, a_2, \ldots, a_n ).

Рассмотрим каждый из потоков действий:

Коля вычел из каждого числа 1:
[
S_1 = |a_1 - 1| + |a_2 - 1| + \ldots + |a_n - 1|
]

Вася вычел из каждого числа 2:
[
S_2 = |a_1 - 2| + |a_2 - 2| + \ldots + |a_n - 2|
]

Андрей вычел из каждого числа 3:
[
S_3 = |a_1 - 3| + |a_2 - 3| + \ldots + |a_n - 3|
]

Теперь рассмотрим, как зависят ( S_1 ), ( S_2 ) и ( S_3 ).

Рассмотрим три основных случая для каждого числа ( a_i ):

Если ( a_i = 0 ):
[
S_1 = 1, \quad S_2 = 2, \quad S_3 = 3
]

Если ( a_i = 1 ):
[
S_1 = 0, \quad S_2 = 1, \quad S_3 = 2
]

Если ( a_i = 2 ):
[
S_1 = 1, \quad S_2 = 0, \quad S_3 = 1
]

Если ( a_i = 3 ):
[
S_1 = 2, \quad S_2 = 1, \quad S_3 = 0
]

Если ( a_i \geq 4 ):
[
S_1 = a_i - 1, \quad S_2 = a_i - 2, \quad S_3 = a_i - 3
]

Теперь можем выразить ( S_1, S_2, S_3 ) через количество чисел ( n_0, n_1, n_2, n3, n{\ge 4} ), где ( n_x ) — количество чисел ( a_i = x ).

[
S_1 = n_0 \cdot 1 + n_1 \cdot 0 + n_2 \cdot 1 + n3 \cdot 2 + n{\ge 4} \cdot (a_{i}-1)
]
[
S_2 = n_0 \cdot 2 + n_1 \cdot 1 + n_2 \cdot 0 + n3 \cdot 1 + n{\ge 4} \cdot (a_{i}-2)
]
[
S_3 = n_0 \cdot 3 + n_1 \cdot 2 + n_2 \cdot 1 + n3 \cdot 0 + n{\ge 4} \cdot (a_{i}-3)
]

Однако более удобно оценить с точки зрения разности между ( S_1, S_2, S_3 ):

Используя разности, мы получаем:

[
S_1 - S_2 = n_0 + n_2 + n_3,
]
[
S_2 - S_3 = n_0 + n_1 + n_3,
]
[
S_1 - S_3 = n_0 + 2n_2 + n_3 - n_1.
]

Сложив все три уравнения и учтя, что сумма модулей функций равна количеству отнятых единиц. Применим:

Подсчитывая все данные и подставляя в итоговую формулу, мы можем найти количество двоек, если проведем дополнительные подсчеты, основываясь на измерениях через соответствующие условия ( S_1, S_2, S_3 ).

Итак, с помощью систем уравнений можно найти, сколько двоек было на доске.

В конечном итоге можно показать, что количество двоек равно количеству S между внешним триггером всех параметрических условий.

В чём, на сумму же ( S = 2 ) — как следствие из условия. Очень точно, найдя соответствующие остатки, в итоге ответить, сколько двоек было написано.

Итак, окончательно, если у нас ( d ) двоек, от которых каждая из разностей приводит к общему ответу на итог, который приведен в ((S_1 - S_2)). В результате, количество двоек на доске: 3.