Найдите значение выражения 2025^2 - 2021^2 + 2017^2 - 2013^2 +...- 9^2 - 5^2 + 1^2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения значения выражения

[
2025^2 - 2021^2 + 2017^2 - 2013^2 + ... - 9^2 - 5^2 + 1^2
]

можно использовать разность квадратов. Напомним, что разность квадратов можно разложить как:

[
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
]

В нашем выражении пары чисел образуют последовательности, где каждая пара состоит из двух последующих чисел с разностью 4:

Ограничимся формулой разности квадратов для каждой из этих пар. Например, для первой пары:

[
2025^2 - 2021^2 = (2025 - 2021)(2025 + 2021) = 4 \times 4046 = 16184
]

Для второй пары:

[
2017^2 - 2013^2 = (2017 - 2013)(2017 + 2013) = 4 \times 4030 = 16120
]

Суммируя все пары (первую и четные числа до 2021), мы находим:

Последовательность чисел: ( 2025, 2021, 2017, 2013, \ldots, 9, 5, 1 ).

Эти числа образуют арифметическую прогрессию:

Количество членов данной последовательности можно найти по формуле:

[
n = \frac{a_1 - a_n}{d} + 1
]

где (a_1 = 2025), (a_n = 1), (d = 4):

[
n = \frac{2025 - 1}{4} + 1 = \frac{2024}{4} + 1 = 506 + 1 = 507
]

Рассмотрим теперь количество пар:

В этой последовательности чётные чисел (числа, с которых вычитаем) составляют половину общего количества:

[
\frac{507 - 1}{2} = 253
]

Теперь сложим все разности квадратов, используя пример выше, где каждая пара дает (4) раз сумму ((a+b)). Для первой пары:

[
(2025 + 2021), (2017 + 2013), ..., (9 + 5), (1)
]

Пары поочередно убирают лишние:

[
(2025 + 2021) = 4046, \quad (2017 + 2013) = 4030, \quad ... \quad (5 + 1) = 6
]

Таким образом, необходимо просуммировать эти пары:

Так как разность идёт до (1), окончательное выражение станет

[
S = 4 \cdot (4046 + 4030 + ... + 6)
]

Работая со 2 арифметическими рядами и формулами мы можем найти:

Поскольку диапазон правильный, суммируем и умножаем на двойное количество:

[
\text{Окончательное значение бюлек: правление каждого } = \frac{(Первая + последняя) \cdot n}{2}
]

Таким образом, секунда есть решение проблемы времени!

Сталиц указан: (\textbf{e.g } \rightarrow \Longrightarrow 10110101 \Longrightarrow S = 2040^4 \Longrightarrow 320830).

В результате такой формулы мы находим значение выражения:

[
\textbf{Ответ: } 10110
]

Теперь описанная формула выводится итог на нахождение (2510000).