Докажите, что в кубе ABCDA,B,C,D, перпендикулярны плоскос- ти: а) АВС и BDD₁; б) АСС, и BDD₁

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Хорошо, давайте разберем задачу. Мы будем работать с кубом с вершинами A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(1, 1, 0), D(0, 1, 0), A1(0, 0, 1), B1(1, 0, 1), C1(1, 1, 1), D1(0, 1, 1).

а) Вертикаль к плоскости ABC и BDD1

Определим плоскость ABC: Плоскость ABC задана тремя точками: A, B и C. Векторы, лежащие в этой плоскости, можно получить так:

AB = B - A = (1, 0, 0) - (0, 0, 0) = (1, 0, 0)AC = C - A = (1, 1, 0) - (0, 0, 0) = (1, 1, 0)

Чтобы найти нормальный вектор плоскости ABC, можно использовать векторное произведение:
[
n_{ABC} = AB \times AC = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \
1 & 0 & 0 \
1 & 1 & 0
\end{vmatrix} = (0 \cdot 0 - 1 \cdot 0) \hat{i} - (1 \cdot 0 - 1 \cdot 0) \hat{j} + (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) \hat{k} = (0, 0, 1)
]
Но нужно обратить внимание на знак, так как вектор нормали перпендикулярен плоскости.

Таким образом, нормальный вектор плоскости ABC: (n_{ABC} = (0, 0, 1)).

Определим плоскость BDD1: Плоскость BDD1 задана точками B, D и D1:

BD = D - B = (0, 1, 0) - (1, 0, 0) = (-1, 1, 0)BB1 = B1 - B = (1, 0, 1) - (1, 0, 0) = (0, 0, 1)

Нормальный вектор этой плоскости:
[
n_{BDD1} = BD \times B1D1 = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \
-1 & 1 & 0 \
0 & 0 & 1
\end{vmatrix} = (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) \hat{i} - (-1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) \hat{j} + (-1 \cdot 0 - 0 \cdot 0) \hat{k} = (1, 1, 0)
]

Перпендикулярность: Чтобы проверить, перпендикулярны ли плоскости, нужно проверить, пересекаются ли нормальные векторы:
[
n{ABC} \cdot n{BDD1} = (0, 0, 1) \cdot (1, 1, 0) = 0
]
Это значит, что плоскости ABC и BDD1 перпендикулярны.

б) Перпендикулярность плоскостей ACC и BDD1

Плоскость ACC: Плоскость ACC задана точками A, C и C1:

AC = C - A = (1, 1, 0) - (0, 0, 0) = (1, 1, 0)AC1 = C1 - A = (1, 1, 1) - (0, 0, 0) = (1, 1, 1)

Нормальный вектор плоскости ACC:
[
n_{ACC} = AC \times AC1 = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \
1 & 1 & 0 \
1 & 1 & 1
\end{vmatrix} = (1 - 1, 0 - 1, 1 - 1) = (1, -1, 0)
]

Проверка на перпендикулярность: Мы уже нашли нормальный вектор для плоскости BDD1:
[
n{BDD1} = (1, 1, 0)
]
Проверим их скалярное произведение:
[
n{ACC} \cdot n_{BDD1} = (1, -1, 0) \cdot (1, 1, 0) = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1 - 1 + 0 = 0
]
Это показывает, что плоскости ACC и BDD1 также перпендикулярны.

Таким образом, мы доказали, что:
а) Плоскости ABC и BDD1 перпендикулярны;
б) Плоскости ACC и BDD1 также перпендикулярны.