При каком значении векторы имеют одинаковую длину При каком натуральном значении х векторы а=3р-q и b=xp+2q имеют одинаковую длину, если |p|=корень3, |q|=корень5, p перпендикулярно q

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы векторы ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) имели одинаковую длину, необходимо, чтобы выполнялось условие:

[
|\mathbf{a}| = |\mathbf{b}|
]

где ( \mathbf{a} = 3\mathbf{p} - \mathbf{q} ) и ( \mathbf{b} = x\mathbf{p} + 2\mathbf{q} ).

Сначала вычислим длину вектора ( \mathbf{a} ):

[
|\mathbf{a}| = |3\mathbf{p} - \mathbf{q}| = \sqrt{|3\mathbf{p}|^2 + |\mathbf{q}|^2} = \sqrt{(3|\mathbf{p}|)^2 + |\mathbf{q}|^2}
]

Известно, что ( |\mathbf{p}| = \sqrt{3} ) и ( |\mathbf{q}| = \sqrt{5} ). Подставляем эти значения:

[
|\mathbf{a}| = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{27 + 5} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}
]

Теперь вычислим длину вектора ( \mathbf{b} ):

[
|\mathbf{b}| = |x\mathbf{p} + 2\mathbf{q}| = \sqrt{|x\mathbf{p}|^2 + |2\mathbf{q}|^2} = \sqrt{(x|\mathbf{p}|)^2 + (2|\mathbf{q}|)^2}
]

Подставляем уже известные значения:

[
|\mathbf{b}| = \sqrt{(x\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{5})^2} = \sqrt{3x^2 + 4 \cdot 5} = \sqrt{3x^2 + 20}
]

Приравняем длины векторов:

[
4\sqrt{2} = \sqrt{3x^2 + 20}
]

Теперь квадратируем обе стороны:

[
(4\sqrt{2})^2 = 3x^2 + 20
]

[
32 = 3x^2 + 20
]

Вычтем 20 из обеих частей:

[
12 = 3x^2
]

Разделим обе стороны на 3:

[
x^2 = 4
]

Теперь извлечем корень:

[
x = 2 \quad \text{или} \quad x = -2
]

Так как нас интересует натуральное значение ( x ), то получаем:

[
x = 2
]

Таким образом, при ( x = 2 ) векторы ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) имеют одинаковую длину.