Рассмотреть бинарное отношение и ответить на вопросы НА МНОЖЕСТВЕ A ЗАДАНО БИНАРНОЕ ОТНОШЕНИЕ ФИ A ПРИНАДЛЕЖИТ ВЕЩЕСТВЕННЫМ ЧИСЛАМ, 2X+Y>=0, рассмотреть отношения: рефлексивность симметричность антисимметричность транзитивность иррефлексивность

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы проанализировать бинарное отношение ( R ) на множестве ( A ) (где ( A \subseteq \mathbb{R}^2 ) и отношение задано как ( 2x + y \geq 0 )), нам нужно рассмотреть определенные свойства этого отношения: рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность и иррефлексивность.

Рефлексивность:
Отношение ( R ) является рефлексивным, если для любого ( (x, y) \in A ) выполняется ( (x, y) R (x, y) ). Это означает, что ( 2x + y \geq 0 ) для любых ( (x, y) ). Если мы подставим ( y = y ), то не для каждого значения ( y ) это неравенство может выполняться (например, ( x = 0, y = -1 ) не выполняется). Следовательно, отношение не является рефлексивным.

Симметричность:
Отношение ( R ) симметрично, если для любых ( (x_1, y_1), (x_2, y_2) \in A ), если ( (x_1, y_1) R (x_2, y_2) ), то ( (x_2, y_2) R (x_1, y_1) ). В нашем случае, если ( 2x_1 + y_2 \geq 0 ), это не обязательно будет верно для ( 2x_2 + y_1 ). Например, если ( (1, -2) ) и ( (2, -5) ) удовлетворяют первому условию, второе может не выполняться. Поэтому отношение не является симметричным.

Антисимметричность:
Отношение ( R ) антисимметрично, если для любых ( (x_1, y_1), (x_2, y_2) ), если ( (x_1, y_1) R (x_2, y_2) ) и ( (x_2, y_2) R (x_1, y_1) ), то ( (x_1, y_1) = (x_2, y_2) ). Для данного отношения, если ( 2x_1 + y_2 \geq 0 ) и ( 2x_2 + y_1 \geq 0 ), это не дает нам гарантии, что ( (x_1, y_1) ) и ( (x_2, y_2) ) одинаковы. Таким образом, отношение не является антисимметричным.

Транзитивность:
Отношение ( R ) транзитивно, если для любых ( (x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3) ), если ( (x_1, y_1) R (x_2, y_2) ) и ( (x_2, y_2) R (x_3, y_3) ), тогда ( (x_1, y_1) R (x_3, y_3) ). Однако, если ( 2x_1 + y_2 \geq 0 ) и ( 2x_2 + y_3 \geq 0 ), это не всегда будет означать, что ( 2x_1 + y_3 \geq 0 ). Поэтому отношение не является транзитивным.

Иррефлексивность:
Отношение ( R ) является иррефлексивным, если для любого ( (x, y) \in A ) не выполняется ( (x, y) R (x, y) ). Поскольку для некоторых значений ( x ) и ( y ) возможно, что ( 2x + y = 0 ), это говорит о том, что отношение может быть рефлексивным для некоторых элементов, а значит также и не быть иррефлексивным.

В итоге: