Задача по геометрии, призма Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна 5, диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 45 градусов. Найдите : а) диагональ призмы ; б) угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани ; в) площадь боковой поверхности призмы ;

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи сначала определим необходимые элементы правильной четырёхугольной призмы.

а) Диагональ призмы:

Найдём высоту призмы. Сторона основания равна 5, тогда длина диагонали основания (квадрат) определяется по формуле:
[ d_{осн} = a \sqrt{2} = 5 \sqrt{2} ]

Так как угол между диагональю призмы и плоскостью основания равен 45 градусов, мы можем воспользоваться тригонометрией для нахождения высоты призмы ( h ):
[ \tan(45^\circ) = \frac{h}{d_{осн}} ]
[ 1 = \frac{h}{5\sqrt{2}} ]
откуда
[ h = 5\sqrt{2}. ]

Теперь найдем диагональ призмы ( d{призмы} ). Диагональ призмы можно выразить через высоту и диагональ основания:
[ d{призмы} = \sqrt{d_{осн}^2 + h^2} = \sqrt{(5\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2} = \sqrt{50 + 50} = \sqrt{100} = 10. ]

Таким образом, диагональ призмы равна 10.

б) Угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани:

Для нахождения угла между диагональю призмы и плоскостью боковой грани, необходимо учитывать, что диагональ боковой грани perpendicular диагонали основания.

Рассмотрим треугольник, образованный диагональю призмы, высотой призмы и половиной диагонали основания. Обозначим угол между диагональю призмы и боковой гранью как ( \alpha ), тогда:
[ \tan(\alpha) = \frac{d_{осн}/2}{h} = \frac{(5\sqrt{2})/2}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{2}, ]

Угол ( \alpha ) можно найти как:
[ \alpha = \arctan(0.5) \approx 26.57^\circ. ]

в) Площадь боковой поверхности призмы:

Площадь боковой поверхности (P) правильной призмы можно найти по формуле:
[ P = периметр \times высота. ]

Периметр основания:
[ P_{осн} = 4 \cdot a = 4 \cdot 5 = 20. ]

Площадь боковой поверхности:
[ P = P_{осн} \cdot h = 20 \cdot 5\sqrt{2} = 100\sqrt{2}. ]

Итак, результирующие ответы:
а) Диагональ призмы: 10;
б) Угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани: ( \approx 26.57^\circ );
в) Площадь боковой поверхности призмы: ( 100\sqrt{2} ).