Задача по геометрии В прямоугольном треугольнике ABC ( угол C = 90°) провели высоту CD. Найдите отрезок BD, если АВ = 8 см, ВС = 4 см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, у нас есть данные:

Для решения задачи воспользуемся свойством высоты, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе. Высота делит гипотенузу на два отрезка: ( AD ) и ( DB ).

Сначала найдем длину другого катета ( AC ) с помощью теоремы Пифагора:

[
AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \text{ см}.
]

Теперь используем формулу для высоты ( h ) в прямоугольном треугольнике:

[
h = \frac{BC \cdot AC}{AB}.
]

Подставим известные значения:

[
h = \frac{4 \cdot 4\sqrt{3}}{8} = \frac{16\sqrt{3}}{8} = 2\sqrt{3} \text{ см}.
]

Теперь можем использовать теорему о отношении отрезков, на которые высота разбивает гипотенузу:

[
\frac{AD}{DB} = \frac{AC^2}{BC^2}.
]

Подставляем найденные значения:

[
\frac{AD}{DB} = \frac{(4\sqrt{3})^2}{4^2} = \frac{48}{16} = 3.
]

Обозначим ( DB = x ), тогда ( AD = 3x ).

Поэтому:

[
AD + DB = AB \implies 3x + x = 8 \implies 4x = 8 \implies x = 2.
]

Таким образом, ( DB = 2 ) см.

Ответ: отрезок ( BD = 2 ) см.