Олимпиадная задача по математике
Сколько разных 11-буквенных последовательностей можно получить, переставляя буквы слова ЦИВИЛИЗАЦИЯ так, чтобы каждая буква И стояла рядом с буквой Ц

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи начнём с анализа слова "ЦИВИЛИЗАЦИЯ". Это слово состоит из 11 букв, среди которых есть повторяющиеся:

Ц: 2И: 3В: 1Л: 1З: 1А: 1Т: 1

Из условия задачи мы хотим получить перестановки букв, при этом каждая буква "И" должна стоять рядом с буквой "Ц".

Для удобства мы можем считать каждую пару "ЦИ" как одну "состоящую букву". Таким образом, мы можем образовать следующие новые "буквы":

"ЦИ" (одна "ЦИ")"Ц" (вторая "Ц", единственная)"И" (две оставшиеся "И")"В""Л""З""А""Т"

Подсчитаем, сколько у нас "букв". Мы имеем одну пару "ЦИ", одну "Ц" (которая не парная), две "И", и еще 5 других букв В, Л, З, А, Т.

Таким образом, новые буквы будут:

"ЦИ" (1 раз)"Ц" (1 раз)"И" (2 раза)"В" (1 раз)"Л" (1 раз)"З" (1 раз)"А" (1 раз)"Т" (1 раз)

Всего у нас 8 букв, из которых некоторые повторяются.

Теперь подсчитаем количество различных перестановок этих "букв". Формула для нахождения количества перестановок с учетом повторений выглядит так:
[
\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdots n_k!}
]
где ( n ) — общее количество букв, а ( n_1, n_2, ..., n_k ) — количество повторений каждой буквы.

В нашем случае:

Общее количество букв ( n = 8 ).Количество "ЦИ" — 1 раз.Количество "Ц" — 1 раз.Количество "И" — 2 раза.Количество "В" — 1 раз.Количество "Л" — 1 раз.Количество "З" — 1 раз.Количество "А" — 1 раз.Количество "Т" — 1 раз.

Подставляем данные в формулу:
[
\text{Количество последовательностей} = \frac{8!}{1! \cdot 1! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!}
]

Посчитаем отдельно:

( 8! = 40320 )( 2! = 2 )

Таким образом:
[
\text{Количество последовательностей} = \frac{40320}{2} = 20160
]

Следовательно, количество различных 11-буквенных последовательностей, в которых каждая буква "И" стоит рядом с буквой "Ц", равно 20160.