Сколько существует двузначных натуральных чисел, которые делятся на каждую свою цифру?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Двузначные натуральные числа находятся в диапазоне от 10 до 99. Чтобы найти такие числа, которые делятся на каждую свою цифру, обозначим двузначное число как ( ab ), где ( a ) — десятки (от 1 до 9) и ( b ) — единицы (от 0 до 9).

Для того чтобы число ( 10a + b ) делилось на ( a ) и ( b ), должны выполняться следующие условия:

( 10a + b ) делится на ( a ) (это условие всегда выполняется, так как ( 10a + b ) при делении на ( a ) оставляет остаток ( b )).( b ) не должно быть равно 0 (так как деление на 0 неопределенно).( 10a + b ) должно делиться на ( b ).

Теперь проверим все возможные значения для ( a ) (от 1 до 9) и для ( b ) (от 1 до 9, исключая 0):

Проверяем все пары ( (a, b) ):

( a = 1 ): ( 10 \times 1 + b = 10 + b )

( b = 1, 2, 3, \ldots, 9 ) (все числа делятся на 1, подходящих чисел: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19) — 9 чисел.

( a = 2 ): ( 10 \times 2 + b = 20 + b )

( b = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ):
( b = 1, 2, 4, 5, 8 ) (подходящее числа: 21, 22, 24, 25, 28) — 5 чисел.

( a = 3 ): ( 10 \times 3 + b = 30 + b )

( b = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ):
( b = 1, 3, 6 ) (подходящие числа: 31, 33, 36) — 3 числа.

( a = 4 ): ( 10 \times 4 + b = 40 + b )

( b = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ):
( b = 1, 2, 4, 8 ) (подходящие числа: 41, 42, 44, 48) — 4 числа.

( a = 5 ): ( 10 \times 5 + b = 50 + b )

( b = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ):
( b = 1, 5 ) (подходящие числа: 51, 55) — 2 числа.

( a = 6 ): ( 10 \times 6 + b = 60 + b )

( b = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ):
( b = 1, 2, 3, 6 ) (подходящие числа: 61, 62, 63, 66) — 4 числа.

( a = 7 ): ( 10 \times 7 + b = 70 + b )

( b = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ):
( b = 1, 7 ) (подходящие числа: 71, 77) — 2 числа.

( a = 8 ): ( 10 \times 8 + b = 80 + b )

( b = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ):
( b = 1, 2, 4, 8 ) (подходящие числа: 81, 82, 84, 88) — 4 числа.

( a = 9 ): ( 10 \times 9 + b = 90 + b )

( b = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ):
( b = 1, 3, 9 ) (подходящие числа: 91, 93, 99) — 3 числа.Подсчет:( a = 1 ): 9 чисел( a = 2 ): 5 чисел( a = 3 ): 3 числа( a = 4 ): 4 числа( a = 5 ): 2 числа( a = 6 ): 4 числа( a = 7 ): 2 числа( a = 8 ): 4 числа( a = 9 ): 3 числа

Теперь складываем количество подходящих чисел:
( 9 + 5 + 3 + 4 + 2 + 4 + 2 + 4 + 3 = 36 )

Таким образом, существует 36 двузначных натуральных чисел, которые делятся на каждую свою цифру.