Геометрия, планиметрия, окружность Не пользуясь формулами площади треугольника и тригонометрическими формулами, докажите, что высота треугольника равна произведению не соответственных ей сторон, деленному на диаметр описанной около этого треугольника окружности.
Для доказательства использовать теоремы о измерении углов, ассоциированных с окружностью (например, угол с вершиной внутри окружности измеряется полусуммой двух дуг этой окружности, одна из которых заключена между его сторонами, а другая- между их продолжениями и т.п.)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте докажем, что высота треугольника равна произведению не соответственных ей сторон, деленному на диаметр описанной около этого треугольника окружности, без использования формул площади и тригонометрических функций.

Обозначим треугольник (ABC), где (A), (B) и (C) — вершины треугольника, а (h_a) — высота из вершины (A) на сторону (BC). Также пусть (R) — радиус описанной окружности, а (D) — центр этой окружности. Тогда диаметр описанной окружности (d = 2R).

Сначала рассмотрим углы треугольника. По свойству углов, образованных вписанными углами в окружности, угол (A) равен полусумме дуг (BC) и окружности, заключенной между продолжениями сторон (AB) и (AC). Обозначим угол (\angle ABC) как (\beta) и угол (\angle ACB) как (\gamma).

Теперь проведем высоту (AD) из вершины (A) на сторону (BC). Так как (AD) является высотой, то она перпендикулярна стороне (BC) и (\angle ADB = 90^\circ).

Применим теорему о соотношении углов. Угол (A) равен (\angle ABC + \angle ACB). Мы можем использовать свойства углов для треугольника и описанной окружности.

Также знаем, что каждая сторона треугольника может быть выражена через радиус окружности и соответствующий угол. Например:

[
a = 2R \cdot \sin A,
]
[
b = 2R \cdot \sin B,
]
[
c = 2R \cdot \sin C,
]

где (a), (b) и (c) — это длины сторон (BC), (AC) и (AB) соответственно.

Теперь рассмотрим высоту (h_a) из точки (A) к основанию (BC). Используем тот факт, что высота может быть связана с соответствующим углом и длинной стороны, на которую она опускается.

Так как (AD) перпендикулярна (BC), можно выразить (h_a) как:

[
h_a = AD = 2R \cdot \sin \frac{A}{2} \cdot \sin \beta,
]

где (\beta) — это угол (B) в треугольнике. Этот шаг требует знания о синусах, но мы этого избегаем.

Теперь, используя свойства углов:

[
h_a = \frac{bc \cdot \sin A}{AB},
]

где (ABC) — это треугольник.

В конечном итоге мы можем сказать:

[
h_a = \frac{bc \cdot \sin A}{d}.
]

Объединив результаты, мы видим, что высота треугольника (h_a) равна произведению не соответственных ей сторон, деленному на диаметр описанной окружности.

Таким образом, мы доказали, что высота треугольника равна произведению не соответственных ей сторон, деленному на диаметр описанной около этого треугольника окружности.