Решить неопределенный дробный интеграл:
∫12x^2-12/2x+2 dx

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данного интеграла необходимо разложить дробь на два слагаемых:

∫(12x^2 - 12) / (2x + 2) dx

Разложим числитель на два слагаемых:

∫12x^2/(2x+2) - 12/(2x+2) dx

Разделим дробь на две отдельные интегралы:

∫12x^2/(2x+2) dx - ∫12/(2x+2) dx

Вынесем константу 12 из первого интеграла:

12 ∫x^2/(x+1) dx - 12 ∫1/(x+1) dx

Далее выполним замены переменной и проинтегрируем:

Пусть t = x + 1, тогда dx = dt

Интеграл ∫x^2/(x+1) dx = ∫(t-1)^2/t dt = ∫(t^2 - 2t + 1)/t dt = ∫(t - 2 + 1/t) dt = (t^2/2 - 2t + ln|t|) + C = ((x+1)^2/2 - 2(x+1) + ln|x+1|) + C

Интеграл ∫1/(x+1) dx = ∫1/t dt = ln|t| + C = ln|x+1| + C

Таким образом, окончательный ответ:

((x+1)^2/2 - 2(x+1) + ln|x+1|) - 12 ln|x+1| + C