В основании прямой призмы лежит треугольник со сторонами 5, 6, 7. Диагональ средней по величине боковой грани призмы наклонена к основанию под углом arctg 3. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точку пересечения биссетрис основания параллельно плоскости меньшей боковой грани.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим основание треугольника как ABC, где AB=5, BC=6, AC=7. Точка пересечения биссектрис основания обозначим как O. Так как треугольник не является прямоугольным, то нам нужно найти угол между боковой гранью и диагональю.

Пусть D и E - середины сторон AB и AC соответственно. Тогда треугольник ABC подобен треугольнику ADE с коэффициентом подобия равным 0.5. Диагональ средней по величине боковой грани пересекает DE в точке M. Так как треугольники подобны, отношение сторон DE и DM равно коэффициенту подобия, то есть DM = 0.5*DE.

Рассмотрим прямоугольный треугольник DME, у которого угол EMD равен arctg 3. Тогда DM = DEtg(arctg 3) = DE3. Таким образом DE = DM/3 = 0.5DE/3, откуда DE = 3sqrt(3).

Поскольку треугольник ADE прямоугольный (так как точка O - центр вписанной окружности), то точка O лежит на ME. Поэтому, площадь треугольника ADE равна S_ADE = 0.5DEAE = 0.53sqrt(3)3 = 4.5sqrt(3).

Так как плоскость проходит через точку O и параллельна плоскости боковой грани с основанием ABC, то сечение прямой призмы этой плоскостью является трапецией, верхняя основа которой равна стороне большей грани bc=7 (основание ABC), нижняя основа равна 5 (диагонали), а высота равна 4.5*sqrt(3) (растояние от точки O до стороны DE).

Таким образом, площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точку пересечения биссетрис основания параллельно плоскости меньшей боковой грани, равна:
S_прям = (7+5)4.5sqrt(3)/2 = 24.75*sqrt(3)