Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=x^2+ 1, y=x+3

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем точки пересечения этих двух функций. Подставим уравнения друг в друга:

x^2 + 1 = x + 3

x^2 - x - 2 = 0

(x - 2)(x + 1) = 0

x1 = 2, x2 = -1

Теперь найдем соответствующие значения у:

y1 = 2^2 + 1 = 5

y2 = (-1)^2 + 1 = 2

Таким образом, точки пересечения у = (2, 5) и (-1, 2).

Теперь найдем площадь фигуры, ограниченной этими двумя функциями. Интегрируем разность y = x^2 + 1 - y = x + 3 на интервале от -1 до 2:

∫ (x^2 + 1 - (x + 3)) dx от -1 до 2

= ∫ (x^2 - x - 2) dx от -1 до 2

= [(x^3/3) - (x^2/2) - 2x] от -1 до 2

= [(8/3 - 2 - 4) - ((-1/3 - 1/2 + 2))] = (8/3 - 6 - 4) + (1/3 + 1/2 - 2)

= -14/3 + 3/6 = - 14/3 + 1/2

= -13/6

Площадь фигуры, ограниченной этими двумя функциями, равна 13/6 или примерно 2,167.