Тригонометрия.
cos^8a-sin^8a если cos2a = 1/3

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данного уравнения нужно воспользоваться тригонометрическими тождествами.

Известно, что cos(2a) = 1/3. Так как cos(2a) = cos^2a - sin^2a, то можем выразить sin^2a:

cos^2a - sin^2a = 1/3
sin^2a = cos^2a - 1/3

Теперь воспользуемся исходным уравнением:

cos^8a - sin^8a = (cos^4a + sin^4a)(cos^4a - sin^4a)

Так как cos^4a - sin^4a = (cos^2a - sin^2a)(cos^2a + sin^2a) = (cos^2a - (cos^2a - 1/3))(cos^2a + sin^2a), то подставим найденное значение sin^2a:

cos^4a - sin^4a = ((cos^2a - (cos^2a - 1/3))(cos^2a + sin^2a) = ((1/3)(1 + 1/3)(cos^2a + sin^2a) = (4/9)(cos^2a + sin^2a)

Таким образом, cos^8a - sin^8a = (cos^4a + sin^4a)(cos^4a - sin^4a) = (cos^4a + sin^4a)(4/9)(cos^2a + sin^2a) = (cos^4a + sin^4a)(4/9)(1)

Так как значение sin^2a выражено через cos^2a, нам нужно найти значение cos^4a + sin^4a. Для этого воспользуемся тригонометрическими тождествами:

cos^4a + sin^4a = (cos^2a + sin^2a)^2 - 2cos^2a sin^2a = 1 - 2cos^2a sin^2a

Теперь подставим значение sin^2a = cos^2a - 1/3:

cos^4a + sin^4a = 1 - 2cos^2a * (cos^2a - 1/3) = 1 - 2cos^4a + 2/3cos^2a

Теперь можем найти окончательный ответ, подставив это значение в выражение cos^8a - sin^8a:

(cos^4a + sin^4a)(4/9)(1) = (1 - 2cos^4a + 2/3cos^2a)(4/9) = (4/9) - 8/9cos^4a + 8/27cos^2a

Таким образом, cos^8a - sin^8a = (4/9) - 8/9cos^4a + 8/27cos^2a.