Координаты вершин треугольник A(-1;1), B(1;-1), C(0;0). Треугольник ABC в гомотетии с центром A и k=-2 отображается в треугольник A1B1C1. Вычислите координаты точек A1, B1, C1 и вычислите площадь полученного треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения координат точек A1, B1, C1 мы можем воспользоваться формулой для гомотетии:

A1(x) = k (B(x) - A(x)) + A(x)
A1(y) = k (B(y) - A(y)) + A(y)

B1(x) = k (C(x) - B(x)) + B(x)
B1(y) = k (C(y) - B(y)) + B(y)

C1(x) = k (A(x) - C(x)) + C(x)
C1(y) = k (A(y) - C(y)) + C(y)

Подставим координаты вершин треугольника A(-1;1), B(1;-1), C(0;0) и k=-2 в формулы и найдем координаты точек A1, B1, C1:

A1(x) = -2 (1 - (-1)) - 1 = -2 2 - 1 = -4 - 1 = -5
A1(y) = -2 (-1 - 1) + 1 = -2 (-2) + 1 = 4 + 1 = 5
Итак, координаты точки A1(-5; 5).

B1(x) = -2 (0 - 1) + 1 = -2 (-1) + 1 = 2 + 1 = 3
B1(y) = -2 (0 - (-1)) - 1 = -2 1 - 1 = -2 - 1 = -3
Итак, координаты точки B1(3; -3).

C1(x) = -2 (-1 - 0) + 0 = -2 (-1) = 2
C1(y) = -2 * (1 - 0) = 2
Итак, координаты точки C1(2; 2).

Теперь найдем площадь треугольника A1B1C1, используя координаты вершин:

S = 0.5 |x1(y2-y3) + x2(y3-y1) + x3(y1-y2)|
S = 0.5 |(-5)(-3-2) + (3)(2-5) + (2)(5+3)|
S = 0.5 |(-5)(-5) + (3)(-3) + (2)(8)|
S = 0.5 (25 - 9 + 16)
S = 0.5 * 32
S = 16

Итак, площадь треугольника A1B1C1 равна 16.