Доказать, что двойного предела x^y при x -> inf, y->0 не существует. Вроде, простой предел, а доказать никак не могу

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Предположим, что существует двойной предел (L) для функции (f(x, y) = x^y) при (x \rightarrow \infty, y \rightarrow 0).

Тогда по определению двойного предела, для любого (\varepsilon > 0) существует (\delta > 0) такое, что для всех (x > \delta, y < \delta) выполняется (|f(x, y) - L| < \varepsilon).

Рассмотрим последовательности (x_n = n) и (y_n = \frac{1}{n}), которые стремятся к бесконечности и нулю соответственно при (n \rightarrow \infty). Тогда (f(x_n, y_n) = x_n^{y_n} = n^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{n} \rightarrow 1) при (n \rightarrow \infty).

Однако, если взять (\varepsilon = \frac{1}{2}), то для достаточно больших (n) выполняется (|f(x_n, y_n) - L| = |1 - L| \geq \frac{1}{2}), что противоречит условию существования двойного предела.

Таким образом, можно заключить, что двойного предела (x^y) при (x \rightarrow \infty, y \rightarrow 0) не существует.