Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями
y=0,5x^2+2, касат. в т. x=-2, x=0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления площади фигуры ограниченной указанными линиями и ограниченной включенной кривой, необходимо найти точки пересечения функции y=0,5x^2+2 с осью x, затем найти производную функции y=0,5x^2+2 и найти уравнения касательных в точках пересечения, и найти точки пересечения прямых x=-2 и x=0 с функцией.

Сначала найдем точки пересечения функции y=0,5x^2+2 с осью x, для этого подставим y=0 в уравнение y=0,5x^2+2 и решим уравнение 0,5x^2+2=0:
0,5x^2+2=0
0,5x^2=-2
x^2=-4
x=±2

Точки пересечения функции с осью x: (-2,0) и (2,0)

Теперь найдем производную функции y=0,5x^2+2:
y'=x

Теперь найдем уравнения касательных в найденных точках пересечения:
1) В точке (-2,0):
y(−2)=0,5⋅(−2)^2+2=0,5⋅4+2=4+2=6
y'(-2)=-2

Уравнение касательной в т. (-2,6):
y=6-2(x+2)
y=-2x+10

2) В точке (2,0):
y(2)=0,5⋅2^2+2=0,5⋅4+2=2+2=4
y'(2)=2

Уравнение касательной в т. (2,4):
y=4+2(x-2)
y=2x

Точка пересечения прямой x=-2 и функции y=0,5x^2+2:
y=0,5(-2)^2+2=0,54+2=2+2=4
Точка пересечения (-2,4)

Точка пересечения прямой x=0 и функции y=0,5x^2+2:
y=0,5*0^2+2=2
Точка пересечения (0,2)

Таким образом, фигура ограничена кривыми y=0,5x^2+2, x=-2, x=0 и осями x и имеет форму трапеции. Площадь трапеции можно вычислить как разность площадей фигур, образованных функцией y=0,5x^2+2, касательными -2x+10 и 2x и осями x в пределах от x=-2 до x=0.