Вычислите неопределённый интеграл методом по частям x*ln(3x+2)dx

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления данного интеграла методом по частям, воспользуемся формулой:

∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx,

где u(x) и v(x) - это две функции, которые мы выбираем.

Пусть u(x) = x и v'(x) = ln(3x+2), тогда u'(x) = 1 и v(x) = ∫ln(3x+2)dx.

Для нахождения ∫ln(3x+2)dx воспользуемся заменой переменной z = 3x+2:

dx = dz/3,

∫ln(3x+2)dx = ∫ln(z)(dz/3) = (1/3)∫ln(z)dz = (1/3)zln(z) - (1/3)∫dz = (1/3)z*ln(z) - z + C,

где C - произвольная постоянная.

Теперь подставим полученные значения в формулу метода по частям:

∫xln(3x+2)dx = x((1/3)(3x+2)ln(3x+2) - 3x-2) - ∫((1/3)(3x+2)ln(3x+2) - 3x-2)dx,

Упростим выражение:

∫xln(3x+2)dx = x(xln(3x+2)-2) - (1/9)(3x+2)^2ln(3x+2) + 2(3x+2) + C.

Итак, получили неопределенный интеграл x*ln(3x+2)dx методом по частям.