Эксцентриситет эллипса e = 2/5, расстояние от точки М эллипса до директрисы равно 20. Вычислить расстояние от точки М до фокуса, одностороннего с этой директрисой.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем полуоси эллипса a и b, где a - большая полуось, b - малая полуось:

e = c/a, где c - расстояние от фокуса до центра

c = ae
c = (2/5)a

Также известно, что c^2 = a^2 - b^2

(2/5a)^2 = a^2 - b^2
4/25 a^2 = a^2 - b^2
b^2 = 21/25 a^2

Теперь найдем координаты точки М(x, y) на эллипсе. Расстояние от нее до директрисы равно 20:

|x/a| = 20
x = 20a

Подставим x в уравнение эллипса:

(20a)^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1

400 + y^2 / 21/25 a^2 = 1

y^2 = 21/25 a^2 - 400 = 21/25 a^2 - 1000/25 a^2 = - 979/25 a^2

y = ± √(- 979/25 a^2)

Расстояние от точки М до фокуса равно:

r = √(x - c)^2 + y^2
r = √((20a - 2/5 a)^2 + (-979/25 a^2))
r = √((100/5 a - 2/5 a)^2 + (-979/25 a^2))
r = √(98/5 a)^2 + (-979/25 a^2)
r = √(9604 a^2 / 25 + (-979 a^2) / 25)
r = √(8625 a^2 / 25)
r = √(345 a^2)
r = 5√69 a/5

r = √69 a

Ответ: расстояние от точки M до одного из фокусов равно √69 a.