Исследовать функцию z=x^3*y^3k(a-x-y) на экстремумы.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для исследования функции на экстремумы воспользуемся методом множителей Лагранжа.

Функция: z = x^3 y^3 k * (a - x - y)

Условие: g(x, y) = a - x - y

Составляем функцию Лагранжа:
L(x, y, λ) = x^3 y^3 k * (a - x - y) - λ(a - x - y)

Найдем частные производные функции Лагранжа и приравняем их к нулю:
∂L/∂x = 3x^2 y^3 k - 3λ = 0
∂L/∂y = 3y^2 x^3 k - 3λ = 0
∂L/∂λ = a - x - y = 0

Из первого уравнения получаем: x^2 y^3 k = λ
Из второго уравнения получаем: y^2 x^3 k = λ

Таким образом, x/y = y/x, откуда x = y. Подставим x = y в уравнение a - x - y = 0:
a - 2x = 0 => x = a/2, y = a/2

Проверим характер точки (a/2, a/2):
Для этого найдем вторые производные функции и составим матрицу Гёссе:
∂^2L/∂x^2 = 6x y^3 k
∂^2L/∂y^2 = 6y x^3 k
∂^2L/∂x∂y = 9x^2 y^2 k

Матрица Гессе:
| 6a k 0 |
| 0 6a k |

Матрица Гессе является невырожденной и положительноопределенной, что говорит о том, что точка (a/2, a/2) является точкой минимума функции.

Таким образом, функция z = x^3 y^3 k * (a - x - y) имеет экстремум в точке (a/2, a/2) и этот экстремум - минимум.