Исследовать функцию z=x^3*y^3k(a-x-y) на экстремумы.

16 Июн 2019 в 19:43
114 +1
0
Ответы
1

Для исследования функции на экстремумы воспользуемся методом множителей Лагранжа.

Функция: z = x^3 y^3 k * (a - x - y)

Условие: g(x, y) = a - x - y

Составляем функцию Лагранжа:
L(x, y, λ) = x^3 y^3 k * (a - x - y) - λ(a - x - y)

Найдем частные производные функции Лагранжа и приравняем их к нулю:
∂L/∂x = 3x^2 y^3 k - 3λ = 0
∂L/∂y = 3y^2 x^3 k - 3λ = 0
∂L/∂λ = a - x - y = 0

Из первого уравнения получаем: x^2 y^3 k = λ
Из второго уравнения получаем: y^2 x^3 k = λ

Таким образом, x/y = y/x, откуда x = y. Подставим x = y в уравнение a - x - y = 0:
a - 2x = 0 => x = a/2, y = a/2

Проверим характер точки (a/2, a/2):
Для этого найдем вторые производные функции и составим матрицу Гёссе:
∂^2L/∂x^2 = 6x y^3 k
∂^2L/∂y^2 = 6y x^3 k
∂^2L/∂x∂y = 9x^2 y^2 k

Матрица Гессе:
| 6a k 0 |
| 0 6a k |

Матрица Гессе является невырожденной и положительноопределенной, что говорит о том, что точка (a/2, a/2) является точкой минимума функции.

Таким образом, функция z = x^3 y^3 k * (a - x - y) имеет экстремум в точке (a/2, a/2) и этот экстремум - минимум.

21 Апр в 01:01
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Бесплатные доработки
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы
Проверка работы на плагиат
Интересные статьи из справочника
Поможем написать учебную работу
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 84 848 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Прямой эфир