x^3-8x^2+21X-18/x-3 больше или равно нулю

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для неравенства ( \frac{x^3-8x^2+21x-18}{x-3} \geq 0 ), начнем с того, чтобы найти нули функции ( f(x) = x^3-8x^2+21x-18 ). Мы можем сделать это, разложив выражение на множители или используя график функции.

Мы можем найти нули функции ( f(x) ) как корни уравнения ( x^3-8x^2+21x-18 = 0 ).
Далее, разлагаем уравнение на множители:

( x^3-8x^2+21x-18 = (x-3)(x^2-5x+6) = (x-3)(x-2)(x-3) ).

Отсюда, нули функции ( f(x) ) равны ( x = 3, 2, 3 ).

Мы можем построить знаки функции и определить интервалы, на которых функция положительна или отрицательна:

[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & & 2 & 3 & 3 & \
\hline
(x-3)(x-2)(x-3) & + & - & 0 & + & \
\hline
f(x) & - & + & 0 & - & \
\hline
\end{array}
]

Отсюда мы видим, что функция ( f(x) ) положительна на интервалах ( (-\infty, 2) ) и ( (3, \infty) ), и отрицательна на интервале ( (2, 3) ).

Теперь мы можем провести анализ интервалов, на которых ( \frac{f(x)}{x-3} \geq 0 ) (так как знаменатель не равен нулю):

Таким образом, неравенство ( \frac{x^3-8x^2+21x-18}{x-3} \geq 0 ) выполняется для значений ( x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty) ).