Найти объем тела вращения фигуры ограниченной линиями y^2=x x^2=y вокруг оси ox

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти объем тела вращения фигуры, ограниченной заданными линиями, вокруг оси ox, необходимо воспользоваться методом цилиндрических оболочек.

Сначала найдем точки пересечения заданных кривых. Для этого приравняем уравнения к x и найдем значения x и y:

y^2 = x
x^2 = y

x = y^2
y^2 = (y^2)^2
y^2 = y^4
y^4 - y^2 = 0
y^2(y^2 - 1) = 0
y = 0 или y = 1

Таким образом, точки пересечения: (0, 0) и (1, 1).

Теперь построим график фигуры, которую нужно вращать вокруг оси ox.

Затем выразим функцию f(y) - расстояние между кривыми x = y^2 и x = y в зависимости от y:

f(y) = (y^2 - y)^2 - y^2
f(y) = y^4 - 2y^3 + y^2 - y^2
f(y) = y^4 - 2y^3

Теперь найдем объем тела вращения, используя формулу:

V = ∫[a,b] (площадь плоскости) * dy
V = ∫[0,1] π[(y^2)^2 - y^2]^2 dy
V = π∫[0,1] (y^4 - 2y^3)^2 dy
V = π∫[0,1] (y^8 - 4y^7 + 4y^6) dy
V = π[y^9/9 - y^8 + 4y^7/7] [0,1]
V = π[1/9 - 1 + 4/7]
V ≈ π[0,243]

Таким образом, объем тела вращения фигуры ограниченной линиями y^2=x x^2=y вокруг оси ox составляет примерно 0,243π.