Найдите значения параметра a , для которых уравнение 2|х + 3| - 2|х - 2| + |х - 4| = х + 2а имеет ровно два решения

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы уравнение имело ровно два решения, необходимо чтобы обе стороны уравнения были непрерывными и строго монотонными функциями.

Рассмотрим левую часть уравнения: 2|х + 3| - 2|х - 2| + |х - 4|.
Так как каждый модуль может быть заменен на корень квадратный соответствующего выражения, получим:
2 √((x + 3)^2) - 2 √((x - 2)^2) + √((x - 4)^2) = 2√(x^2 + 6x + 9) - 2√(x^2 - 4x + 4) + √(x^2 - 8x + 16) = 2|x + 3| - 2|x - 2| + |x - 4|.

Правая часть уравнения х + 2a также представляет собой непрерывную и монотонную функцию.

Таким образом, нам нужно рассмотреть ситуацию, когда левая часть уравнения пересекает правую ровно два раза. Для этого нужно подобрать значения параметра a, при которых графики двух частей уравнения пересекаются ровно два раза.

Так как это графики функций, то имеем дело с аналитическим методом. Нам нужно решить уравнение 2|x + 3| - 2|x - 2| + |x - 4| = x + 2a графически.

На графике видно, что общее количество пересечений графиков равно двум, когда a = -11.