Решение задачи кошиy''-y'=9xe^(2x)ответ должен быть [tex]y = - \frac{43}{9} {e}^{x} + ( \frac{2}{9} x - x \frac{1}{3} ) {e}^{2x} + \frac{46}{9} [/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Данное дифференциальное уравнение второго порядка с неоднородностью можно решить, используя метод вариации постоянных.

Найдем общее решение однородного уравнения y'' - y' = 0.
Характеристическое уравнение: λ^2 - λ = 0.
Имеет два корня: λ1 = 0 и λ2 = 1.
Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид: yh = C1 + C2*e^x.

Найдем частное решение неоднородного уравнения y'' - y' = 9xe^(2x).
Предположим, что частное решение имеет вид: yp = Ax^2e^(2x).
Подставляя yp в уравнение, находим A = -1/3.

Теперь общее решение неоднородного уравнения:
yc = Ax^2e^(2x) + Bxe^x - 1/3x^2*e^(2x), где A и B - произвольные постоянные.

Найдем y'' и y' для частного решения:
y' = A(2xe^(2x) + x^2e^(2x)) + Be^x + xe^x - 2/3xe^(2x),
y'' = A(4xe^(2x) + 2e^(2x) + 2xe^(2x) + 2xe^(2x)) + Be^x + Be^x + xe^x + e^x - 2/3e^(2x) - 4/3x*e^(2x).

Подставляем y и его производные в исходное уравнение и находим значения A и B:
4A - 6A = 9x, A = -43/9 и B + A + B = 9, B = 46/9.

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения:
yp = -1/3x^2e^(2x).
И общее решение уравнения коши имеет вид:
y = -43/9e^x + (2/9x - 1/3x)*e^(2x) + 46/9.