Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=4x-x^2-4 и осями координат. Желательно развернуто и на листочке)...

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком функции y=4x-x^2-4 и осями координат, необходимо найти точки их пересечения.

Сначала найдем точки пересечения с осями координат. Для этого подставим y=0 и найдем соответствующие значения x:

0=4x-x^2-4
x^2-4x+4=0
(x-2)^2=0
x=2

Таким образом, график функции пересекает ось абсцисс в точке (2,0).

Теперь можно построить график функции:

\begin{array}{|c|c|} \hline
x & y \ \hline
0 & -4 \ \hline
1 & -1 \ \hline
2 & 0 \ \hline
3 & -1 \ \hline
4 & -4 \ \hline
\end{array}

Далее можно найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции и осями координат. Так как график находится ниже оси абсцисс, площадь будет вычисляться как интеграл от функции на отрезке от 0 до 2:

S=\int_{0}^{2}(4x-x^2-4)dx

S=\left[2x^2-\frac{x^3}{3}-4x\right]_{0}^{2}

S=(22^2-\frac{2^3}{3}-42)-0=8-\frac{8}{3}-8=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}

Итак, площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=4x-x^2-4 и осями координат, равна 4/3 единицы площади.